《總復習概念》PPT課件

一、行列式 1. 定義 a11 a12 ? a1n a a ? a D ? 21 22 2n ??????? an1 an2 ? ann ? ? ? ??1?t p1 p2?pn a a a ? 1 p1 2 p2 ? npn p1 p2?pn 其中 p1 p2 ? pn 為自然數 1，2，?，n 的一個排列， t 為這個排列的逆序數． 簡記作 det(aij ). 說明 1、行列式是一種特定的算式，而矩陣是數表; 2、 n 階行列式是 n ! 項的代數和; 3、 n 階行列式的每項都是位于不同行、不同 列 n 個元素的乘積; 4、 一階行列式 a ? a 不要與絕對值記號相混淆; 、 a a a 的符號為 t 5 1 p 1 2 p 2 ? n p n ?? 1? . 6、常用的：三角行列式 a11 a12 ? a1n 0 a22 ? a2n ? a11a22 ?ann ??????? 0 0 ? ann a11 ? a1k ? ? 0 ak1 ? akk 設 D ? D ? D1D2 . c11 ? c1k b11 ? b1n ? ? ? ? cn1 ? cnk bn1 ? bnn 范德蒙德(Vandermonde)行列式 1 1 ? 1 x1 x2 ? xn 2 2 2 Dn ? x1 x2 ? xn ? ?(xi ? x j ). n?i? j?1 ? ? ? n?1 n?1 n?1 x1 x2 ? xn ? ?x2 ? x1 ??x3 ? x1 ???xn ? x1 ? 7、關于代數余子式的重要性質 n ?D ,當 i ? j, ?1 ,當 i ? j， 其中 ?aki Akj ? D? ij ? ? ? ij ? ? k?1 ? 0 ,當 i ? j; ?0 ,當 i ? j. 8、方陣的行列式運算性質 ?1? AT ? A; n ?2? ?A ? ? A（; A為n階方陣） ?3? AB ? A B; ? AB ? BA. n?1 （4）A? ? A . 2、計算（證明）行列式的方法 計算行列式的方法比較靈活，在計算時，首先要 仔細考察行列式在構造上的特點，利用行列式的性質 對它進行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法． １ 用定義計算（證明） ２ 利用范德蒙行列式計算 ３ 用化三角形行列式計算 ４ 用降階法計算 ５ 用拆成行列式之和（積）計算 ６ 用遞推法計算 ７ 用數學歸納法 a ? x a a ? a 例1 計算 n 階行列式 a a ? x a ? a D ? a a a ? x ? a ? ? ? ? ? a a a ? a ? x 解 將第 2 , 3 , ? , n 列都加到第一列得 na ? x a a ? a na ? x a ? x a ? a D ? na ? x a a ? x ? a ? ? ? ? ? na ? x a a ? a ? x 1 a a ? a 1 a ? x a ? a ? ?na ? x? 1 a a ? x ? a ? ? ? ? ? 1 a a ? a ? x 1 a a ? a 0 ?x 0 ? 0 n?1 n?1 ??na?x? 0 0 ?x ? 0 ?(?1) ?na?x?x . ? ? ? ? ? 0 0 0 ? ?x 1 1 1 1 a b c d 例2 計算 D ? a 2 b 2 c 2 d 2 a 4 b4 c 4 d 4 解 (1)當 a , b , c , d 有兩個相等時，顯然 D ? 0； (2)當 a , b , c , d 互異時，為利用范德蒙行列式， 適當添加一行一列得到： 1 1 1 1 1 a b c d x f ? x ? ? a 2 b 2 c 2 d 2 x 2 a 3 b 3 c 3 d 3 x 3 a 4 b 4 c 4 d 4 x 4 按最后一列展開，得到： 2 3 4 f ?x??1? A15 ? x? A25 ? x ? A35 ? x ? A45 ? x ? A45 ? f ?a ? ? f ?b ? ? f ?c ? ? f ?d ? ? 0 根據根與系數的關系，有 a ? b ? c ? d ? ? A45 A55 4?5 而 A45 ? ??1? D ? ?D, A55 ? ?b ? a??c ? a??c ? b??d ? a??d ? b??d ? c? ? D ? ?a ? b ? c ? d ?A55 ? ?a ? b ? c ? d ??b ? a??c ? a??c ? b??d ? a??d ? b??d ? c? 二、矩陣 1、矩陣的定義 由 m ? n 個數 aij ?i ? 1,2,?,m; j ? 1,2,?,n? 排成的 m 行 n 列的數表 ? a a ? a ? ? 11 12 1n ? ? a21 a22 ? a2n ? A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?am1 am 2 ? amn ? 簡記為 A ? A ? ?a ? ? ?a ? m?n ij m?n ij . 2、矩陣的運算 ? a ? b a ? b ? a ? b ? ? 11 11 12 12 1n 1n ? ? a21 ? b21 a22 ? b22 ? a2n ? b2n ? A ? B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?am1 ? bm1 am2 ? bm2 ? amn ? bmn ? ? ?a ?a ? ?a ? ? 11 12 1n ? ? ?a21 ?a22 ? ?a2n ? ?A ? A? ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ??am1 ?am1 ? ?amn ? 設 A ? ? a ij ? 是一個m ? s 矩陣，B ? ? b ij ? 是一個 s ? n 矩陣，那末規定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積 是一個 ? 矩陣 ，其中 m n C ? ? c i j ? s cij ? ai1b1 j ? ai 2b2 j ? ?? aisbsj ? ? aik bkj k ?1 ?i ? 1,2,?m; j ? 1,2,?,n?, 并把此乘積記作 C ? AB. 注意 矩陣與矩陣相乘不滿足交換律和消去律，即： AB ? BA, ?AB?k ? Ak Bk . AC ? AB 不能推出 C ? B . 3.幾種特殊矩陣 ? ? 0 ? 0 ? ? 1 ? 0 ? 0 （一）形如 ? 2 ? ? 的方陣,稱為對角矩陣. ?? ? ? ?? ? ? ? 0 0 ? ?n ? 記作 A ? diag??1 ,?2 ,?,?n ?. ? 1 0 ? 0 ? ? ? ? 0 1 ? 0 ? ( 二 )方陣E ? E ? 稱為單位矩陣. n ?? ? ? ?? ? ? ? 0 0 ? 1 ? （三）設 A 為 n 階方陣，如果滿足A ? A T ，即 aij ? a ji ?i , j ? 1,2,?,n? 那末 A 稱為對稱陣. 如果 AT ? ? A 則矩陣 A稱為反對稱的 . ( 四 ) 逆矩陣. 若AB ? E ?或BA ? E ?,則B ? A ?1 . ?1 ?1? 若A可逆,則A?1亦可逆,且?A?1 ? ? A. ?1 1 ?1 ?2? 若A可逆,數? ? 0,則?A可逆,且??A? ? A . ? ? 3 ? 若A, B為同階方陣且均可逆 ,則AB亦可逆,且 ? ? ? ?AB? 1 ? B 1 A 1 T ?1 ?1 T ?4? 若A可逆,則AT 亦可逆 ,且 ?A ? ? ?A ? . ?1 ?5? 若A可逆,則有 A?1 ? A . (6)逆矩陣 A ? 1 存在 ? A ? 0. (7)逆矩陣的計算方法 ? ? A 待定系數法 ; 利用公式A 1 ? ; 初等變換法 . A （8）若A可逆 , 那么矩陣方程 AX ? B有唯一解 X ? A ?1 B；矩陣方程 YA ? B 有唯一解 Y ? BA ?1 （五） A 為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立： ?1? A?1 ? AT ; ?2? AAT ? E; ?3? A的列向量是兩兩正交的 單位向量; ?4? A的行向量是兩兩正交的 單位向量. 性質: 對于n階正交矩陣A,B A : A ? ?1 AT (即A?1 ), AB也是正交矩陣. A?為正交矩陣 . ( 六 ) 相似矩陣. 設A,B都是n階矩陣 ,若有可逆矩陣 P ,使 P -1 AP ? B, 則稱B是A的相似矩陣 ,或說矩陣A與B相似. （1） 若A與B相似,則A?1與B ?1相似?當A,B同時可逆時?. （2） 若A與B相似,則 A ? B . （3） 若n階矩陣A與B相似,則A與B的特征多項式相同 , 從而A與B的特征值亦相同 . （4） 若 n 階方陣A與對角陣 ? ? diag??1 ,?2 ,?,?n ?. 相似,則?1 ,?2 ,?,?n即是A的n個特征值. （5） 設A為n階對稱矩陣 ,則必有正交矩陣 P ,使 P ?1 AP ? ? ,其中 ? 是以 A的 n 個特征值為對角元 素的對角矩陣 . 三、向量 個 維列向量所組成的向量 組 m n ? 1 ,? 2 ,?,? m , 構成一個 m ? n矩陣 A ? (? 1 ,? 2 ,?,? m ) 1、向量組的線性關系： (1)若一組數 k1 ,k2 ,?,kn使得下列線性關系式成立: k1? 1 ? k2? 2 ??? kn? n ? ? 此時, 又稱向量? 可由向量組 ?1 ,? 2 ,?,? n 線性表示. （2） 給定向量組 A :? 1 ,? 2 ,?,? m ,如果存在不 全為零的數 k1 , k2 ,?, km 使 k1? 1 ? k2? 2 ? ? ? km? m ? 0 則稱向量組A 是線性相關的，否則稱它線性無關． （3）線性相關性的判定： 若向量組帶分量， 則 對矩陣（ ， ， ， ） ? 1 ? 2 ? ? m 施行“初等行變換”化 成行階梯形矩陣 , 利用矩陣（ ， ， ）的秩得出結論： ? 1 ? 2 ? ,? m 滿秩即線性無關，降秩 即線性相關 . 若向量組不帶分量， 則 （ 1）用定義； （ 2）含有零向量的向量組 必線性相關； （ 3）m 個 n 維向量組成的向量組， 當維數 n 小 于向量個數 m時一定線性相關 ； （ 4）若一個向量組若有線 性相關的部分組， 則該向量組線性相關 .若一個向量組線性無關 ， 則它的任何部分組都線 性無關 .( 全體與部分的關系 ) （4）最大線性無關組的判定： 由定義 設有向量組 A :?1 ,?2 ,?,? s , 若在 A 中能選 出 個向量 ? ? ? 滿足 r j1 , j2 ,?, jr , A ? ? ? (1) 向量組 0 : j1 , j2 , ? , j r 線性無關; (2) 向量組 A 中任意 r ? 1 個向量都線性相關. 則稱向量組 A 0 是向量組 A 的一個最大線性無關組 注:只含零向量的向量組沒有最大無關組; 向量組的最大無關組可能不止一個,但由定義知, 其向量的個數是相同的(稱為向量組的秩). 若向量組是帶分量的，則求秩可利用： 矩陣的秩 = 組成矩陣的列向量組的秩 2、向量空間： (1)定義設 V 為 n 維向量的集合, 若集合 V 非空, 且 集合V 對于加法及數乘兩種運算封閉, 即 (1) 若 ? ?V ,? ?V , 則 ? ? ? ?V; (2) 若 ? ?V ,? ? R, 則 ?? ?V 則稱集合 V 為向量空間. (2)向量空間的基與維數 若把向量空間 V 看作向量組, 則V的基就是向 量組的最大無關組,V 的維數就是向量組的秩; (3)向量在基下的坐標 如果在向量空間 V 中取定一個基?1 ,?2 ,?,?r , 那么V 中任一向量 x 可唯一地表示為 x ? ?1?1 ? ?2?2 ? ?? ?r?r , ? ? ? 數組 1 , 2 ,?, r 稱為向量 x 在基 ?1 ,?2 ,?,?r 中的坐標. 在 n 維向量空間 R n 中單位向量組 n ?1 ,? 2 ,?,? n 叫做 R 中的自然基. (4)向量空間的標準正交基 若 ?1,? 2,?,? r 是向量空間 V 的一個基, 且是 兩兩正交的非零單位向量組,則為標準正交基. 3、特征向量： 定義； 設A為 n 階方陣, 如果數 ? 和 n 維非零向量 x 使 Ax ? ?x 成立, 則稱數 ? 為 A 的一個特征值, 非零向量 x 稱為 A的對應于特征值 ? 的特征向量. 特征向量的求法: 得 為方陣 的一個特征值, | ?E ? A |? 0 ? ? ?i A 可求得非零解 (?i E ? A)x ? 0 pi , 若 p1, p2,?, ps 是方程組 (1)的基礎解系, 則 A 的對應于特征值 ?i 的特征向量的全體可表示為 k1 p1 ? k2 p2 ? ?? ks ps (k1,?,k2,ks不同時為0). T T 例3 求向量組 ?1 ? (1,2,?1,1) , ? 2 ? (2,0,t,0) , T ? ? (3,-2,t ? 4,-1)T ? 3 ? (0,?4,5,?2) , 4 的秩和一個最大無關組. 解 對下列矩陣作初等行變換: ? 1 2 0 3 ? ? ? (? ? ? ? ) = ? 2 0 ? 4 ? 2 ? 1 2 3 4 ? ? 1 t 5 t ? 4? ? ? ? 1 0 ? 2 ? 1 ? ? ? ?1 2 0 3 ? ? 1 2 0 3 ? ? ? ?0 ?4 ?4 ?8 ? ?0 1 1 2 ? ?0 t ? 2 5 t ? 7? ? ? ? ? ? ? 0 0 3 t 3 t ? ? ? ? ?0 ? 2 ? 2 ?4 ? ?0 0 0 0 ? ?1 2 0 3 ? ? ? (? ? ? ? ) ?0 1 1 2 ? 1 2 3 4 ?0 0 3 ? t 3 ? t ? ? ? ?0 0 0 0 ? 顯然 ?1,? 2 線性無關, 且 (1) t ? 3時, 則 r(?1,? 2,? 3,?1 ) ? 2, 且 ?1,? 2 是最大無關組; (2) t ? 3時, 則 r(?1,? 2,? 3,?1 ) ? 3, 且?1,? 2,? 3 是最大無關組. 四、線性方程組 1. 解向量的概念 2. 齊次線性方程組 齊次線性方程組解的性質 基礎解系的定義 基礎解系的求法 解空間及其維數 3. 非齊次線性方程組 非齊次線性方程組解的性質 非齊次線性方程組的通解 五、二次型 建立二次型與對稱矩陣之間的一一對應關系， 從而可將二次型的化簡問題(即化為標準形)轉化為 將實對稱矩陣化為對角矩陣的問題，故要把二次型 T f (x1 , x2 ,?, xn ) ? x Ax 化為標準形，關鍵 在于求出一個非奇異矩陣 C, 使得 C T AC 是對 角矩陣，且有 A ～ C T AC 1. 化二次型為標準形的方法 用配方法化二次型為標準形 用初等變換化二次型為標準形 用正交變換化二次型為標準形 2. 二次型有定性的概念 3. 正定二次型的判定方法 (1) 定義法； (2) 順序主子式判別法； (3) 特征值判別法 .一、行列式 1. 定義 a11 a12 ? a1n a a ? a D ? 21 22 2n ??????? an1 an2 ? ann ? ? ? ??1?t p1 p2?pn a a a ? 1 p1 2 p2 ? npn p1 p2?pn 其中 p1 p2 ? pn 為自然數 1，2，?，n 的一個排列， t 為這個排列的逆序數． 簡記作 det(aij ). 說明 1、行列式是一種特定的算式，而矩陣是數表; 2、 n 階行列式是 n ! 項的代數和; 3、 n 階行列式的每項都是位于不同行、不同 列 n 個元素的乘積; 4、 一階行列式 a ? a 不要與絕對值記號相混淆; 、 a a a 的符號為 t 5 1 p 1 2 p 2 ? n p n ?? 1? . 6、常用的：三角行列式 a11 a12 ? a1n 0 a22 ? a2n ? a11a22 ?ann ??????? 0 0 ? ann a11 ? a1k ? ? 0 ak1 ? akk 設 D ? D ? D1D2 . c11 ? c1k b11 ? b1n ? ? ? ? cn1 ? cnk bn1 ? bnn 范德蒙德(Vandermonde)行列式 1 1 ? 1 x1 x2 ? xn 2 2 2 Dn ? x1 x2 ? xn ? ?(xi ? x j ). n?i? j?1 ? ? ? n?1 n?1 n?1 x1 x2 ? xn ? ?x2 ? x1 ??x3 ? x1 ???xn ? x1 ? 7、關于代數余子式的重要性質 n ?D ,當 i ? j, ?1 ,當 i ? j， 其中 ?aki Akj ? D? ij ? ? ? ij ? ? k?1 ? 0 ,當 i ? j; ?0 ,當 i ? j. 8、方陣的行列式運算性質 ?1? AT ? A; n ?2? ?A ? ? A（; A為n階方陣） ?3? AB ? A B; ? AB ? BA. n?1 （4）A? ? A . 2、計算（證明）行列式的方法 計算行列式的方法比較靈活，在計算時，首先要 仔細考察行列式在構造上的特點，利用行列式的性質 對它進行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法． １ 用定義計算（證明） ２ 利用范德蒙行列式計算 ３ 用化三角形行列式計算 ４ 用降階法計算 ５ 用拆成行列式之和（積）計算 ６ 用遞推法計算 ７ 用數學歸納法 a ? x a a ? a 例1 計算 n 階行列式 a a ? x a ? a D ? a a a ? x ? a ? ? ? ? ? a a a ? a ? x 解 將第 2 , 3 , ? , n 列都加到第一列得 na ? x a a ? a na ? x a ? x a ? a D ? na ? x a a ? x ? a ? ? ? ? ? na ? x a a ? a ? x 1 a a ? a 1 a ? x a ? a ? ?na ? x? 1 a a ? x ? a ? ? ? ? ? 1 a a ? a ? x 1 a a ? a 0 ?x 0 ? 0 n?1 n?1 ??na?x? 0 0 ?x ? 0 ?(?1) ?na?x?x . ? ? ? ? ? 0 0 0 ? ?x 1 1 1 1 a b c d 例2 計算 D ? a 2 b 2 c 2 d 2 a 4 b4 c 4 d 4 解 (1)當 a , b , c , d 有兩個相等時，顯然 D ? 0； (2)當 a , b , c , d 互異時，為利用范德蒙行列式， 適當添加一行一列得到： 1 1 1 1 1 a b c d x f ? x ? ? a 2 b 2 c 2 d 2 x 2 a 3 b 3 c 3 d 3 x 3 a 4 b 4 c 4 d 4 x 4 按最后一列展開，得到： 2 3 4 f ?x??1? A15 ? x? A25 ? x ? A35 ? x ? A45 ? x ? A45 ? f ?a ? ? f ?b ? ? f ?c ? ? f ?d ? ? 0 根據根與系數的關系，有 a ? b ? c ? d ? ? A45 A55 4?5 而 A45 ? ??1? D ? ?D, A55 ? ?b ? a??c ? a??c ? b??d ? a??d ? b??d ? c? ? D ? ?a ? b ? c ? d ?A55 ? ?a ? b ? c ? d ??b ? a??c ? a??c ? b??d ? a??d ? b??d ? c? 二、矩陣 1、矩陣的定義 由 m ? n 個數 aij ?i ? 1,2,?,m; j ? 1,2,?,n? 排成的 m 行 n 列的數表 ? a a ? a ? ? 11 12 1n ? ? a21 a22 ? a2n ? A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?am1 am 2 ? amn ? 簡記為 A ? A ? ?a ? ? ?a ? m?n ij m?n ij . 2、矩陣的運算 ? a ? b a ? b ? a ? b ? ? 11 11 12 12 1n 1n ? ? a21 ? b21 a22 ? b22 ? a2n ? b2n ? A ? B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?am1 ? bm1 am2 ? bm2 ? amn ? bmn ? ? ?a ?a ? ?a ? ? 11 12 1n ? ? ?a21 ?a22 ? ?a2n ? ?A ? A? ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ??am1 ?am1 ? ?amn ? 設 A ? ? a ij ? 是一個m ? s 矩陣，B ? ? b ij ? 是一個 s ? n 矩陣，那末規定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積 是一個 ? 矩陣 ，其中 m n C ? ? c i j ? s cij ? ai1b1 j ? ai 2b2 j ? ?? aisbsj ? ? aik bkj k ?1 ?i ? 1,2,?m; j ? 1,2,?,n?, 并把此乘積記作 C ? AB. 注意 矩陣與矩陣相乘不滿足交換律和消去律，即： AB ? BA, ?AB?k ? Ak Bk . AC ? AB 不能推出 C ? B . 3.幾種特殊矩陣 ? ? 0 ? 0 ? ? 1